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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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11. Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función $f$. Dar su imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Graficar.
a) $f(x)=x^{2}-9$

Respuesta

Identifiquemos primero qué tipo de estructura de función cuadrática tenemos (polinómica, factorizada o canónica)🤔
Es polinómica:  $f(x) = ax^2 +bx + c$, donde $a = 1$, $b = 0$ y $c = -9$


• El vértice de la función se encuentra en el punto $(Xv, Yv)$, donde $Xv = \frac{-b}{2a}$ y $Yv = f(Xv)$. 


En este caso, $a = 1$ y $b = 0$, por lo que $Xv = \frac{-0}{2 \cdot 1} = 0$. Sustituyendo este valor en la función, se obtiene $Yv = f(0) = (0)^2 - 9 = -9$. 


$V = (0, -9)$




• La imagen de la función depende del signo de $a$ y del valor de $Yv$. Como $a>0$ la imagen tendrá la forma $[Yv, +\infty)$.
$\text{Im}f = [-9, +\infty)$



• Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento dependen del signo de $a$ y del valor de $Xv$. Como $a>0$ los intervalos tendrán la forma $I\uparrow = (Xv, +\infty)$ e $I\downarrow =(-\infty, Xv)$

$I \uparrow = (0, +\infty)$
$I \downarrow = (-\infty, 0)$


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Avatar Delfi 26 de abril 18:52
Hola profe, no entiendo por qué el valor de b es 0
Avatar Julieta Profesor 26 de abril 18:59
@Delfi Hola Delfi! Porque las funciones cuadráticas, escritas en su forma polinómica tienen esta pinta:  $x^2 +bx + c$. En este caso como la función es $x^2 -9$, no está el término $bx$, ¿lo notas? Eso no es porque desapareció por magia, sino que es porque $b=0$, entonces: 

$x^2 +(0)x + (-9) = x^2 -9$

 Es por eso que decimos que $a = 1$, $b = 0$ y $c = -9$
Avatar Abigail 30 de agosto 18:18
Hola Profe, consulta, se puede desarrollar todo el ejercicio aunque solo me pidan puntos especificos o solo tengo que desarrollar estos? sabe si asi pueden descontar puntos?

Avatar Julieta Profesor 31 de agosto 07:44
@Abigail Hola Abi, vos podés desarrollar lo que quieras (aunque no te conviene hacer laburo de más por si metés la pata jeje, o sea, calcular cosas que no te piden), pero siempre tenés que informar como resultado final lo que te piden. Te diría que recuadres el resultado final así los profes de entrada pueden hallarlo fácilmente. Fijate en los videos cómo lo hago yo al final. Hacemos el análisis pero recuadro el resultado final.
Avatar Odalis 28 de agosto 23:14
Buenas profe, cómo está? Quería consultar, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento no serían:
(-9,+inf)
(+inf,-9)
respectivamente?
Avatar Julieta Profesor 31 de agosto 07:46
@Odalis Hola Oda! Nop, porque me estás dando valores de $y$, y solamente el conjunto imagen está formado por valores de $y$, tooodos los otros conjuntos (intervalos) son siempre valores de $x$. Mirá el video de funciones cuadráticas que ahí lo vemos bien 😊
Avatar Odalis 1 de septiembre 20:55
@Julieta Ya entendí! Gracias 🫂
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